Ecuación diferencial de primer orden

Una ecuación diferencial es una ecuación cuya incógnita es una función y en la que aparecen algunas derivadas de esa función. Si la función que interviene tiene sólo una variable independiente, la ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.).

Si la función tiene varias variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial en derivadas parciales (E.D.P.). En este tema restringimos nuestra atención a las ecuaciones diferenciales ordinarias.

El orden de una ecuación diferencial viene determinado por la derivada de orden más alto que aparece en dicha ecuación. En su forma más general una ecuación diferencial de orden n se puede escribir como:      

    Se presentan a continuación algunos ejemplos:

Una función y = f(x) se dice que es una solución de una ecuación diferencial si la ecuación se satisface al sustituir, en ella, y y sus derivadas por f(x) y sus derivadas respectivas.

Ecuaciones de variables separables (Explicación)

En primer lugar, observemos que una E.D.O. de primer orden que es fácil resolver es 

Ec. 1

donde f es una función integrable. Para resolverla basta integrar ambos miembros con respecto a x y así se obtiene

Ec. 2

De modo que su solución general viene dada por ec. 2, y en ella se recogen todas las soluciones de la

ecuación ec 1.

Más generalmente, toda ecuación de primer orden y'= f(x, y) en la que y'

pueda expresarse como

producto de dos funciones, una que depende sólo de la variable x, y otra que depende sólo de la variable

y, esto es, de la forma

Ec. 3

se llama ecuación de variables separables.

Para resolver ec. 3 se multiplican ambos miembros por h (y) para obtener

Ec. 4

Ahora se observa que si y = f(x) es una solución de ec. 4, al tener que verificar dicha ecuación, entonces

cumple

por lo que al integrar se obtendrá

Ec. 5

Pero como dy = f'(x)dx, entonces ec. 5 se puede escribir así:

Ec. 6

De modo que ec. 6 constituye una familia uniparamétrica de soluciones, que generalmente vienen expresadas
de forma implícita.

El razonamiento anterior nos sugiere un método para resolver la ecuación 3.
De la ecuación 3 pasamos a h(y)dy = g(x)dx y finalmente integraremos ambos miembros para obtener
la solución general de la ecuación dada.

Ecuaciones de variables separables (Ejemplo)


Para este ejemplo resolveremos la siguiente ecuación por el método de ecuaciones de variables separables.

y'= y2− 4

Escribimos la ecuación en la forma 

A continuación integramos ambos miembros, para lo cual utilizaremos

Así se obtendrá

Por ultimo, nadamas despejamos:

También existen otros  métodos de resolución para este tipo de problemas uno de ellos es Ecuaciones diferenciales homogéneas, de esos podríamos hablar en otra entrada posterior.