Laboratorio 3 - Diagrama de Flujo de Señales

Para esta tarea se eligió el problema B.3.27 de la página 151 del libro [1]

El tema es diagrama de flujo de señales y las instrucciones del ejercicio son:

-Obtenga la función de transferencia Y(s) / X(s) del sistema que se muestra en la Figura 3.29

Y a continuación tenemos la figura:

Primero, podemos observar que hay 3 caminos directos entre la entrada X(s) y la salida Y(s). Y las ganancias de estos caminos son:

Enseguida, determinamos los lazos que existen en el dibujo del problema:

Después, lo que hacemos es obtener el determinante Δ que esta dado por, si observamos los 3 Lazos tienen una rama en común, así que no hay lazos que no se tocan por lo tanto se suman, si existieran lazos que no se tocaran entonces estos se multiplicarían:

Sustituyendo nuestros valores en la ecuación obtenemos:

El cofactor Δ₁ se obtiene a partir de Δ eliminando los lazos que tocan el camino P₁. Por lo tanto, eliminamos L₁, L₂ y L₃ de la ecuación ya que estos lazos si tocan el camino,  y se obtiene: 

Δ₁ = 1

Y siguiendo con los demás también determinamos que ni para Δ₂ ni tampoco para Δ₃ con sus respectivos P₂  y P₃ son tocados, entonces también obtenemos:

Δ₂ = 1    y    Δ₃ = 1

Para obtener nuestra función de transferencia o ganancia del sistema, tenemos la regla de la ganancia de Mason que esta determinada por: 

La función de transferencia del problema es entonces:

El ultimo paso es solamente sustituir y obtenemos nuestra función de transferencia final.

Bibliografía:

[1] Automatización y control de sistemas dinámicos 

[2] http://elisa.dyndns-web.com/~elisa/teaching/sys/control/flujo.pdf

Tarea 6 - Principios de demostraciones en validez

Para esta semana se eligio un problema del pdf dado en clase y se resolvio. [1]

Exercise 4.11 Translate the following sentences into predicate logical formulas. Assume the domain of discourse is human beings.

(1)   Every boy loves Mary.

(2)   Not all girls love themselves.

(3)   No boy or girl loves Peter.

(4)   Peter loves some girl that loves John.

Como ya nos dice las instrucciones tomaremos a los seres humanos y los representamos como x.

(1)   Entonces, en el primer enunciado en su representación seria

Every:  ∀x   toma x que representa a los seres humanos.
Boy:     B(x)   toma el atributo x, representa que los hombres son seres humanos.

Mary:  M(x)   tomo el atributo x, representa que Mary es humana.

Resultado:                    ∀x (B(x) ⇒ M(x))

(2)   Siguiente con el segundo también representamos x como seres humanos

Not all ¬∀x   toma x como seres humanos, es decir, no todos los seres humanos.

Girls    G(x)    toma el atributo x, representa que las mujeres son seres humanos.

Themselves  T(x) toma el atributo x, representa a las personas que se aman a si mismas.

Resultado:               ¬∀x (G(x) ⇒ T(x))

(3)   Para este enunciado también x es seres humanos

No   ¬∃x   toma x como seres humanos, es decir, ningún ser humano.

Boy  B(x)   toma el atributo x  representa, los hombres son seres humanos.

or   v    símbolo de la lógica proposicional que representa disyunción.

Peter  P(x) toma el atributo x, representa que Peter es humano.

Resultado:                  ¬∃x (B(x) v G(x) ⇒ P(x))

(4)   Finalmente, también x es seres humanos

Peter   P(x)  toma el atributo x, representa que Peter es humano.

Some ∃x toma el atributo x, representa que algunos humanos.

Girl G(x)  toma el atributo x, representa que las mujeres son seres humanos.

John J(x)  toma el atributo x, representa que John es humano.

Resultado:                  (P(x) ⇒ ∃xG(x)) ⇒ J(x)

Bibliografía:
[1] http://www.logicinaction.org/docs/ch4.pdf

Reporte 1 - Función de transferencia

Introducción

En el primer reporte se habla de la determinación de la función de transferencia de nuestro proyecto, mi proyecto es un carrito seguidor de una línea de determinado color.

Dentro de la investigación realizada se encontró que el carrito es controlado en si por dos partes, una es un sensor infrarrojo autoreflex que es quien envía una señal a una segunda parte que es el motor quien interpreta esa señal en movimiento.

En el sistema que implementare existe la relación de un sensor autoreflex donde el resultado del sensor es un voltaje aplicado que va directo al motor, siendo esta la entrada del sistema y resultando como salida la velocidad angular de motor.

Sensores

El sensor infrarrojo de reflexión que se va a utilizar es clasificado como Autoreflex o “reflexión sobre objeto” ya que en este mismo posee un emisor y un receptor, el emisor es un led infrarrojo que emite señal de luz (invisible al ojo humano), después el mismo recoge el rayo reflejado de luz gracias al receptor que tiene y tiene una salida lógica dependiendo de la cantidad de luz mandada. Esto nos servirá para determinar la cantidad de luz reflejada es una línea negra o blanca dependiendo del fondo.

Después, se pasara por un amplificador operación configurado en modo comparador para aumentar la señal y tener un voltaje mayor que alimentara a los motores que mandara cuando se muevan y cuando no.

Función de transferencia

La función de transferencia que caracteriza al sistema está dada por la transformada de la función de la salida que es la velocidad angular, entre la transformada de la función de entrada del sistema, que es el voltaje aplicado al motor.

Función de transferencia

Lo que aplicado a nuestro proyecto seria:

Función de transferencia motor

Partimos de las funciones que caracterizan a un motor en base a su funcionamiento con un voltaje de entrada y una velocidad de salida: [2]

Funciones de un motor

Donde cada variable significa:

e_b(t) es la tensión en bornas del motor

i(t) es la corriente que circula por el motor

u(t) es la entrada que inducimos al motor. (Voltaje V)

Θ(t) es el ángulo de giro del motor, salida del sistema. (Rad Θ)

R es la resistencia del motor

L es la inductancia del motor

J es la inercia del motor

B es el coeficiente de rozamiento

Τ es el par del motor

τ_L es el par de la carga

k₁ es la constante de FEM

k₂ es la constante de par.

Entrada

Como ya se comentó anteriormente la entrada del sistema está determinada por el voltaje que va a alimentar a cada uno de los motores (en este caso 2) haciendo que estos se muevan.

u(t) = entrada
(Ver función de motor)

Salida

Para determinar la salida es necesario conocer la función en la cual está implicada la velocidad angular en la que cada uno de los motores se va a mover.

Θ(t) = salida
(Ver función de motor)

Procedimiento
Ahora que ya conocemos esto, para obtener la función de transferencia necesitamos obtener la transformada de Laplace de cada una.
Primeramente, vamos con las siguientes propiedades de la transformada de Laplace para la derivada de una función:

En base a estas dos propiedades aplicamos en nuestras ecuaciones y considerando tambien que las condiciones iniciales son 0, para:

Entonces nos resultaría algo como esto:

Eliminando todo lo multiplicado por 0, resolviendo esto obtenemos como resultado de las ecuaciones, por lo cual reducirían mucho:

(1)

(2)

Despejamos I(s) de la segunda ecuación (2):

Sustituimos el resultado en la primera ecuación (1):

Y ya con esto determinamos la función de Laplace de nuestra entrada y salida, dando como resultado de la división de salida / entrada obteniendo así nuestra función de transferencia de nuestro sistema.

Resultado

Arriba vemos la función de salida entre la función de entrada.

Bibliografía:
Motor y Función de transferencia
[1]http://en.wikipedia.org/wiki/Transfer_function

[2]http://www.robolabo.etsit.upm.es/asignaturas/sctr/apuntes/trabajo3.pdf

[3]http://xa.yimg.com/kq/groups/13389281/446673213/name/DC
Sensores
[4]http://www.ele.uva.es/~lourdes/docencia/Master_IE/Sensores.pdf
[5]http://www.vishay.com/docs/83751/cny70.pdf
[6]http://www.cnad.edu.mx/sitio/matdidac/md/control/SENSORESPARTE1.pdf

Tarea 5 - Lógica predicativa

Esta semana se nos dio a elegir un problema del libro Symbolic Logic por el autor Lewis Carrol que nos habla sobre la lógica predicativa y su simbología.

El problema que elegí es fue el siguiente: Problema 45 de la página 103

Some buns are rich;

All buns are nice.

De acuerdo al libro de Lewis Carrol podríamos definir lo siguiente de cada uno de nuestros enunciados.

Some buns are rich;

The Sign of Quantity is "some"

The Subject is "buns."

The Verb is "are."

The Predicate is “rich”

All buns are nice.

The Sign of Quantity is "all"

The Subject is "buns."

The Verb is "are."

The Predicate is “nice”

Comenzamos por la representación de cada uno en forma de símbolos para poder desarrollarlo de una forma lógica.

B(x) = buns

R(x) = rich

N(x) = nice

También usaremos los símbolos cuantificadores que nos servirán para completar nuestra expresión:

∀ = All

∃ = Some

Ahora comenzamos a sustituir los símbolos que ya hemos elegido en las oraciones.

- Some buns are rich

     ∃x B(x) ⇒ R(x) 

- All buns are nice

    ∀x B(x) ⇒ N(x)

En conclusión a estas expresiones podríamos decir que:

-Some rich things are nice

   ∃x R(x) ⇒ Nx(x)

Por ultimo,de este enunciado obtenemos que:

The Sign of Quantity is "some"

The Subject is "rich things"

The Verb is "are."

The Predicate is “nice”

Bibliografía:

http://www.gutenberg.org/cache/epub/28696/pg28696.txt

Lab. 2 - Transformada de Laplace

Para a tarea 2 del laboratorio se resuelve una función por medio de la transformada de Laplace con el fin de recordar estos temas y practicarlos, ya que nos servirán mas adelante.

Bueno esta es la función que me toco resolver:

Dada la condición de:

Primero expresamos nuestra función aplicando la formula de Laplace. Esto sería la misma solo con el símbolo que lo representa.

Separamos en dos la función e integramos con respecto a t ambos lados de la función usando las fórmulas que ya conocemos donde:

 entonces, 

y la segunda parte:

entonces,

La propiedad de estas formulas esta dada por:

Después al ya juntar las dos partes nos queda algo como esto:

igualmente aplicamos otra propiedad del lado izquierdo de la función para quitar la segunda derivada:

después de esto aplicamos el valor que nos da la descripción del problema, notar que "s" afecto a los demas términos también del lado derecho, lo que nos daría como resultado:

De nuevo aplicamos la propiedad que usamos al inicio, pero ahora de manera contraria para poder obtener la función casi terminada y podamos integrar directo, quedando como resultado:

Dejamos las constante fuera de la integral ya que esa no afecta, y después las expresamos como una sola:

Ya solamente eliminamos en ambos lados de la ecuación la integral y nos quedaría como resultado final lo siguiente:

Hacemos la comprobación del problema en la aplicación de Wolfram Alpha. El resultado es el mismo, solo cambiaron el orden de los valores con esto sabemos que el procedimiento empleado es el correcto.

Y aquí esta la expresión gráfica de la función obtenida por Wolfram Alpha también:

Bibliografía:
http://faculty.atu.edu/mfinan/4243/Laplace.pdf
Apuntes de matemáticas IV
http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
http://www.wolframalpha.com/

Tarea 4 - BDD y ROBDD

Introducción

Primero que nada veamos unas definiciones de la semana correspondiente donde se habló en clase sobre los diagramas binarios de decisión BDD, donde aprendimos que en si estos diagramas son representaciones de expresiones booleanas. Las características principales de estos diagramas son:

Poseen nodos de decisión, y dos nodos finales 0,1.

Cada nodo es una variable y deben de ir ordenadas.

Cada nodo tiene dos hijos, hijo menor e hijo mayor.

Las aristas que unen los nodos tienen una asignación de valor 0 y 1 que representan falso y verdadero respectivamente.

Y aprendimos como se hace a partir de un BDD obtener un ROBDD.

Se refiere a la reducción del diagrama a partir de ciertas reglas:

Los términos que sean iguales se pueden unir y eliminar.

Se comienza de abajo hacia arriba.

Acomodo de variables puede afectar en la reducción total.

Aplicaciones de los ROBDD.

Son muy utilizados para sintetizar circuitos gracias a la lógica que poseen y a la verificación formal que aquí aplicaría del porque lo vemos en este curso.

Otras aplicaciones serian el análisis de fallos en árbol, razonamiento bayesiano y recuperación de información privada. [2]

Aqui un video de Stanford Center for Professional Development del profesor Donald Knuth  de la universidad de Stanford hablando sobre arboles BDD.

Tarea

Para esta cuarta tarea teníamos que primeramente inventar una expresión booleana que a su  vez debería de contener 3 variables y 4 conectivos básicos como mínimo, todo esto con la ayuda de la explicación en clase y observando el ejemplo dado en el pdf [1].

Y aquí está mi expresión que invente, que tiene 4 variables y 4 conectivos:

Después obtuve la tabla de verdad de esta expresión de acuerdo a las reglas de la lógica expresadas en el pdf que se vio en clase.

Imagen de [1]

Después obtenemos esta tabla de verdad:

x1	y1	x2	y2	f
0	0	0	0	0
0	0	0	1	0
0	0	1	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	0	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	0	1	1	1
1	1	0	0	0
1	1	0	1	0
1	1	1	0	1
1	1	1	1	1

Posteriormente en base a la tabla de verdad obtenida se dibujaba su BDD (Binary Decision Diagram). En este diagrama en forma de árbol podemos ver la combinación de cada una de las variables y al final su resultado.

La línea punteada representa cuando es falso (0), y la línea continua representa verdadero (1).

Diagrama binario

Por ultimo teníamos que hacer su ROBDD (Reduced Ordered Binary Decision

Diagram) y aquí muestro los pasos de como se fue reduciendo el árbol para llegar a su mínima expresión.

Comenzando de abajo para arriba vamos uniendo los que son iguales, primero y2 conectando a cada uno solamente 2 salidas 0 y 1.

Siguiendo con las x2 más arriba se va reduciendo cada vez más los nodos y flechas del diagrama.

Por ultimo, esta es la expresión con su máxima reducción posible.

Podemos observar que inicialmente se tenían 15 nodos y con la reducción fue posible llegar a tener 5 nodos para las dos salidas 0 y 1.

Bibliografía:

[1] http://itu.dk/courses/AVA/E2005/bdd-eap.pdf
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_decision_diagram