FIME-ITS: Reporte 1 - Función de transferencia

Introducción

En el primer reporte se habla de la determinación de la función de transferencia de nuestro proyecto, mi proyecto es un carrito seguidor de una línea de determinado color.

Dentro de la investigación realizada se encontró que el carrito es controlado en si por dos partes, una es un sensor infrarrojo autoreflex que es quien envía una señal a una segunda parte que es el motor quien interpreta esa señal en movimiento.

En el sistema que implementare existe la relación de un sensor autoreflex donde el resultado del sensor es un voltaje aplicado que va directo al motor, siendo esta la entrada del sistema y resultando como salida la velocidad angular de motor.

Sensores

El sensor infrarrojo de reflexión que se va a utilizar es clasificado como Autoreflex o “reflexión sobre objeto” ya que en este mismo posee un emisor y un receptor, el emisor es un led infrarrojo que emite señal de luz (invisible al ojo humano), después el mismo recoge el rayo reflejado de luz gracias al receptor que tiene y tiene una salida lógica dependiendo de la cantidad de luz mandada. Esto nos servirá para determinar la cantidad de luz reflejada es una línea negra o blanca dependiendo del fondo.

Después, se pasara por un amplificador operación configurado en modo comparador para aumentar la señal y tener un voltaje mayor que alimentara a los motores que mandara cuando se muevan y cuando no.

Función de transferencia

La función de transferencia que caracteriza al sistema está dada por la transformada de la función de la salida que es la velocidad angular, entre la transformada de la función de entrada del sistema, que es el voltaje aplicado al motor.

Función de transferencia

Lo que aplicado a nuestro proyecto seria:

Función de transferencia motor

Partimos de las funciones que caracterizan a un motor en base a su funcionamiento con un voltaje de entrada y una velocidad de salida: [2]

Funciones de un motor

Donde cada variable significa:

e_b(t) es la tensión en bornas del motor

i(t) es la corriente que circula por el motor

u(t) es la entrada que inducimos al motor. (Voltaje V)

Θ(t) es el ángulo de giro del motor, salida del sistema. (Rad Θ)

R es la resistencia del motor

L es la inductancia del motor

J es la inercia del motor

B es el coeficiente de rozamiento

Τ es el par del motor

τ_L es el par de la carga

k₁ es la constante de FEM

k₂ es la constante de par.

Entrada

Como ya se comentó anteriormente la entrada del sistema está determinada por el voltaje que va a alimentar a cada uno de los motores (en este caso 2) haciendo que estos se muevan.

u(t) = entrada
(Ver función de motor)

Salida

Para determinar la salida es necesario conocer la función en la cual está implicada la velocidad angular en la que cada uno de los motores se va a mover.

Θ(t) = salida
(Ver función de motor)

Procedimiento
Ahora que ya conocemos esto, para obtener la función de transferencia necesitamos obtener la transformada de Laplace de cada una.
Primeramente, vamos con las siguientes propiedades de la transformada de Laplace para la derivada de una función:

En base a estas dos propiedades aplicamos en nuestras ecuaciones y considerando tambien que las condiciones iniciales son 0, para:

Entonces nos resultaría algo como esto:

Eliminando todo lo multiplicado por 0, resolviendo esto obtenemos como resultado de las ecuaciones, por lo cual reducirían mucho:

(1)

(2)

Despejamos I(s) de la segunda ecuación (2):

Sustituimos el resultado en la primera ecuación (1):

Y ya con esto determinamos la función de Laplace de nuestra entrada y salida, dando como resultado de la división de salida / entrada obteniendo así nuestra función de transferencia de nuestro sistema.

Resultado