FIME-ITS: Laboratorio 4 - Errores de estado

Para esta semana elegí un problema del libro de Ingeniería de control moderna del curso de Automatización, el problema es el siguiente:

Problema

Considere un sistema de control con realimentación unitaria con la función de transferencia en lazo cerrado.

1- Determine la función de transferencia en lazo abierto G(s).

2- Demuestre que el error en estado estacionario en la respuesta rampa unitaria se obtiene mediante la formula.

Introducción

El tema es tratado en el libro dentro del capítulo 5 y se llama errores de estado estacionario en lazo cerrado en un sistema de control. En el se define que los errores en un sistema de control se pueden atribuir a muchos factores. Los cambios en la entrada de referencia causará errores inevitables durante los períodos transitorios y también pueden provocar errores de estado estacionario. Las imperfecciones en los componentes del sistema, tales como la fricción estática, holgura, y la deriva amplificador, así como el envejecimiento o el deterioro, se producirán errores en estado estacionario.

El error de estado estacionario es causado por la incapacidad de un sistema de seguimiento de determinados tipos de entradas.

Cualquier sistema de control físico por sí sufre error de estado estacionario en respuesta a ciertos tipos de sistema entradas. Un sistema puede tener ningún error de estado estacionario para una entrada escalón, pero el mismo sistema puede exhibir distinto de cero error de estado estacionario para una entrada rampa. (La única manera en que puede ser capaz de eliminar este error es modificar la estructura del sistema.)

-La clasificación de los sistemas de control

Los sistemas de control se pueden clasificar de acuerdo con su capacidad para seguir las entradas escalón, entradas de rampa, entradas parabólicos, y así sucesivamente.

Existen 3 tipos de errores, para cada uno muestro su formula:

-Errores de estado estacionario

-Error de posición estática en la constante k

-Error estático de velocidad constante k

-Error de aceleración estática en la constante k

Solución

Para nuestro problema que es:

En este caso vamos aplicar la formula para errores de estado estacionario para transferir la función entre el error de señal y la entrada de la señal donde el error es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de salida. Por lo que queda de la siguiente forma la función de transferencia en lazo cerrado:

Si queremos representar esto en un pequeño diagrama de bloque se representaría de la siguiente forma:

1- Lo que queremos obtener es G(s) que representa la función de transferencia en lazo abierto.
Ahora, continuando con nuestro problema, multiplicamos en forma cruzada y nos da:

Ya solamente de esto obtenemos G(s) casi directamente que es la que buscamos, para simplificar un poco más también sacamos "s" como factor común y quedaría de la siguiente forma:

2- Ahora el segundo punto que nos pide el problema es que demostremos que el error en estado estacionario en la respuesta rampa unitaria se obtiene mediante:

Teóricamente que es y como se obtiene (información obtenida del libro)

Las constantes de error estáticos definidos son figuras de mérito de los sistemas de control.

La mayor de las constantes, cuanto menor sea el error de estado estacionario. En un sistema dado, la salida puede ser la posición, la velocidad, la temperatura de presión, o similares.

Llamaremos a la salida "posición", el cambio de la salida se llamara "velocidad", y así sucesivamente.

Esto significa que en un sistema de control de la temperatura "posición" representa la temperatura de salida, "velocidad" representa la tasa de cambio de la temperatura de salida, y así sucesivamente.

Tenemos esto representado en formula que nos da el libro:

El error de estado estacionario de la respuesta rampa unitaria basado en la formula que nos da y en la teoría del libro obtenemos dos partes, se sustituyen en los lugares correspondientes y con esto queda demostrado el error: