Programa - Estabilidad

Como ya he presentado anteriormente esta es mi función de transferencia de mi proyecto:

y el nombre de cada una las variables y su simbología son:

u(t) es la entrada que inducimos al motor. (Voltaje V)

Θ(t) es el ángulo de giro del motor, salida del sistema. (Rad Θ)

e_b(t) es la tensión en bornas del motor. Se mide en V.

i(t) es la corriente que circula por el motor. Se mide en A

R es la resistencia del motor. Se mide en Ω

L es la inductancia del motor.  Se mide en H

J es la inercia del motor. Se mide en kg·m2

B es el coeficiente de rozamiento. Se mide en N·m·rad/s.

τ es el par del motor. Se mide en N·m

τ_L es el par de la carga.  Se mide en N·m.

k₁ es la constante de FEM. Se mide en V·s/rad

k₂ es la constante de par. Se mide en N·m/A

Para cada una de estas variables le vamos a asignar valores, para los ejemplos usare estos que son los valores básicos para un motor de cc, según una fuente citada posteriormente en la bibliografia:

R = 4,91 Ω
L = 742,2 μH = 742,2·10-6 H
J = 43,8 g·cm^2 = 43,8 · 10-7 kg· m2
B = 10-5 N·m·rad/s
k1 = 32,18· 10-3 V·s/rad
k2 = 32,18 mN·m/A = 32,18· 10-3 N·m/A

Separando variables de la función

Lo primero que hice fue expresar las variables que tuvieran "s" ya que inicialmente las tenia factorizadas, haciendo simples multiplicaciones en la parte del denominador obtenemos:

con esto ya resulto una función en valores de s³ + s² + s que sera para hacer análisis más fácilmente.

Sustituyendo y multiplicando los valores mencionados ahora tenemos que la función de transferencia esta expresada por:

1) Polos y ceros

Para conocer los polos y ceros de nuestra función usamos la función "pzmap". Y entonces obtenemos lo siguiente:

-No tiene ceros, porque que no hay valores que anulen el numerador de la función de transferencia.
-Tiene tres polos dado que el denominador es un polinomio de grado 3.
-No tiene polo en el origen.
-Sólo hay un polo real, el que en el eje imaginario esta sobre 0.

Obteniendo las coordenadas de los polos de donde se encuentran en la gráfica:

p1 = - 6567.174
p2 = - 25.288 + 29.459j
p3 = - 25.288 – 29.459j


2) Escalón

El motor tenia pensado alimentarlo con una señal de 5V, pero investigando para que gire el motor 45 grados (para moverse derecha-izquierda) necesita una entrada de π/4 V que es el valor equivalente en radianes del giro de 45 grados. Aplicamos esto para la función de salida que es la que queremos afectar, entonces usare esto como escalón para ver como se comporta el sistema. Esto se hizo con step en octave.

Gracias a esto podemos obtener los datos:
El tiempo de subida, calculado como el tiempo que tarda en alcanzar el alcanzar el 100% de su valor final: t = 0.078s
Tiempo de pico: t  = 0.107 s
Tiempo de establecimiento, calculado como el tiempo que tarda en alcanzar la banda del 0.98 al 1.02% del valor final: t = 0.154s 

Podemos concluir que el sistema gracias al escalón alcance un valor casi constante después de 0.154 s. es decir cada ves que de una vuelta. Y con un máximo nivel después de 0.107s.

3) Rampa

Para ver la respuesta del sistema a una rampa por la expresión de 1/s^2 que esto afectaría a nuestro denominador multiplicando los exponentes, aumentando a todos dos mas de los de la función de transferencia original.

El resultado nos muestra que si alimentamos el motor con una rampa, el motor comenzará a girar indefinidamente. Para calcular esto se utilizó las funciones lsim() y plot() en octave.

4) Parábola

Ahora vemos que pasa cuando introducimos de entrada al sistema una parábola, que esta dada por la expresión 1/s^3 esto afectaría nuevamente a  nuestra función de transferencia en la parte del denominador, multiplicando los exponentes de s. dando como resultado un aumento en cada s ^ +3.

Observando la imagen podemos determinar que la respuesta de entrada a una parábola es también otra parábola, determinando esto el comportamiento en el tiempo de la función de la parábola. Esta gráfica también se expreso con lsim() en octave.

5) Diagrama de Bode

Gracias a la instrucción bode( ); obtenemos el siguiente diagrama.

Obtenemos la siguiente información:

-Pico de resonancia: Existe un pico de resonancia determinado por octave que es en 15.107 rad/s
-Frecuencia de resonancia: y la frecuencia de resonancia es muy pequeña 0.1 segun octave.
-Ancho de Banda: ocurre el primer cambio de pendiente entre 10 rad/s y 100/rad/s debido a los dos polos que están ahí. Por lo que el cambio de pendiente ocurre a la frecuencia 42.426 rad/s.


6) Diagrama de Nyquist

Este tipo de representación se realiza colocando la parte real de la función de transferencia en el eje de abscisas y su parte imaginaria en el eje de ordenadas. Este diagrama es muy útil a la hora de calcular el margen de ganancia y el margen de fase, así como para analizar la estabilidad del sistema.

Respecto al diagrama podemos determinar que el punto inicial del diagrama corresponde a 0, es finito y esta sobre el eje real positivo. Notamos que el lazo es estable ya que la curva obtenida gracias a octave no rea el punto -1 + j0.

Raíces

Conclusión:

 Nuestro sistema se comporta estable o inestable dependiendo del cambio en la entrada, por ejemplo,

-Con el escalón se comportó estable.

-Con la rampa se comportó inestable.

-Con la parábola se comporta medianamente estable.

-Con Nyquist y las raíces vemos que están dentro de la región es estable respecto del plano s. que sería el lado izquierdo. 

Código:

Bibliografía:
http://www.robolabo.etsit.upm.es/asignaturas/sctr/apuntes/trabajo3.pdfhttp://www.el.bqto.unexpo.edu.ve/tperez/SC1/Transparencias%20(Noviembre-2000).pdf
http://octave.sourceforge.net/control/function/pzmap.html
http://octave.sourceforge.net/control/function/step.html
http://octave.sourceforge.net/control/function/rlocus.html
http://octave.sourceforge.net/control/function/bode.htmlhttp://octave.sourceforge.net/control/function/lsim.htmlhttp://www.slideshare.net/tonivi99/sistemas-de-control