Laboratorio 7 - Automatización

Introducción

Criterio de Nyquist

Con el objeto de investigar la estabilidad en un sistema de control, se utiliza el criterio de nyquist. Y se considera que un sistema es estable cuando todos los ceros de la función deben de estar en la parte izquierda del eje jw en el plano s.
Un sistema realimentado es estable si, y solamente si, el contorno de T en el plano L(s) no rodea al punto (1, 0) cuando el número de polos de L(s) en la parte derecha del plano.

Cuando el número de polos de L(s) en la parte derecha del plano s es diferente de cero, el criterio de Nyquist es: Un sistema de control realimentado estable si, y solamente si, para el contorno T, el numero de rodeos del punto (-1,0) en el sentido contrario al movimiento del reloj es igual al numero de pelos de L(s) con partes reales positivas.

Estabilidad relativa y el criterio de Nyquist

Se definió la estabilidad relativa de un sistema como la propiedad medida por el tiempo de estabilización relativo de cada raíz o par de raíces. Se podría determinar una medida semejante de la estabilidad relativa útil para el método de la respuesta de frecuencia. El criterio de Nyquist proporciona una información adecuada relacionada con la estabilidad absoluto y, además, puede utilizarse para definir y determinar la estabilidad relativa de un sistema.
El criterio de la estabilidad de Nyquist se define en términos del punto (-1,0) en la gráfica polar, o sea, el punto 0 dB a -180 en el diagrama de Bode. Evidentemente, la proximidad del lugar geométrico de GH(jw) a este punto de estabilidad es una medida de la estabilidad relativa de un sistema.
Margen de ganancia: se define como el recíproco de la ganancia |GH(jw)| para la frecuencia en que el ángulo de fase alcanza -180° (esto es, v=0).


Problema

Dibujar los diagramas polares de las siguientes funciones de transferencia de lazo GH(s) y, utilizando el criterio de Nyquist, determinar si el sistema es estable:

Respuesta

a)
Nuestra ecuación quedaría de la siguiente manera:

De acuerdo con octave podemos gráficar el criterio de Nyquist utilizamos el comando:
Nyquist(Funcion de transferencia)

Nyquist

Por el mismo criterio podemos determinar si el sistema es estable o no. Observamos el plano s  vemos que la gráfica se dibujo del lado izquierdo del punto 0 del eje imaginario. De acuerdo a esto decimos que:

El sistema es estable

En el sistema si obtenemos el diagrama de Bode podemos determinar los puntos de estabilidad y cual es el limite de k. En el diagrama de Bode se puede ver como como esta la gráfica descendiendo hasta llegar al límite.

Bode

Octave cuenta con otra instrucción llamada Margin que determina los margenes, si observamos es la misma gráfica  que la de Bode pero se muestra que cruza el eje.

Margin

También podemos ver en terminal las raíces que se obtienen con roots, todas están negativas es decir los puntos están del lado izquierdo de la gráfica como ya lo vimos en el diagrama de Nyquist y se determina que es estable.

b)

Nuestra ecuación quedaría de la siguiente forma:

Nyquist

Para ese segundo problema  por el mismo criterio podemos determinar si el sistema es estable o no. Observamos el plano s  vemos que la gráfica se dibujo del lado izquierdo del punto 0 del eje imaginario. De acuerdo a esto decimos que:

El sistema es estable

En el sistema si obtenemos el diagrama de Bode podemos determinar los puntos de estabilidad y cual es el limite de k. En el diagrama de Bode se puede ver como como esta la gráfica descendiendo hasta llegar al límite.

Bode

Octave cuenta con otra instrucción llamada Margin que determina los margenes, si observamos es la misma gráfica  que la de Bode pero se muestra que cruza el eje.

Margin

También podemos ver en terminal las raíces que se obtienen con roots, todas están negativas es decir los puntos están del lado izquierdo de la gráfica como ya lo vimos en el diagrama de Nyquist y se determina que es estable.

Código

Parte 1. Inciso a)
Parte 2. Inciso b)

Bibligrafía

Libro Sistema de Control Moderno.
Por: Richard C. Dorf. y  Robert H. Bishop.